Proposisi

Proposisi

A.    Proposisi dan Tabel Kebenaran

Proposisi adalah istilah yang digunakan untuk kalimat pernyataan yang memiliki arti penuh dan utuh. Hal ini berarti suatu kalimat harus dapat dipercaya, disangsikan, disangkal, atau dibuktikan benar tidaknya. Singkatnya, proposisi adalah pernyataan mengenai hal-hal yang dapat dinilai benar atau salah.

Tabel Kebenaran

 

B.     Tautologi dan Kontradiksi

            Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar. Contoh pernyataan tautology adalah:

(p ʌ q) => q

            Untuk membuktikan pernyataan diatas adalah tautologi, simak tabel kebenaran untuk  tautologi 

(p ʌ q) => q berikut :

Tabel Tautologi

            Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh  subdtansi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal      tanpa memandang nilai kebenaran dari komponen-komponennya.

Tabel Kontradiksi

 

C.    Ekuivalen Logika

Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk  yang memiliki nilai kebenaran yang sama.
Contoh ekuivalen:
~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q
tabel kebenaran pernyataan ekuivalen ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q:

Tabel Ekuivalen

 

D.    Aljabar Proposi

Hukum – hukum Aljabar Proposisi :

a.       Hukum Iden : P v P = P

b.      Hukum Asosiatif : (P v Q) v R = P v (Q v R)

c.       Hukum Komutatif : P Ú Q º Q Ú P

d.      Hukum Distributif : P Ú (Q Ù R) º (P Ú Q) Ù (P Ú R)

e.       Hukum Identitas : P Ú F º P

f.       Hukum Identitas : P Ú T º  T

g.      Hukum Komplemen : P Ú ~ P º  T

h.      Hukum Komplemen : ~~Pº  P

i.        Hukum De Morgan : ~(PÚ Q) º ~ P Ù ~ Q

E.     Implikasi Logik

            Misalkan P(p,q,…) dan Q(p,q,….)adalah proposisi. Maka tiga kondisi di bawah ini            adalah ekivalen.

(1)   ~ P(p,q,…) Ú Q(p,q,…) adalah tautologi

(2)    P(p,q,…) Ù ~ Q(p,q,…) adalah kontradiksi

(3)   P(p,q,…) ®  Q(p,q,…) adalah tautologi

(4)   Suatu proposisi  P(p,q,…) disebut implikasi logik ke proposisi Q(p,q,….) dinyatakan dengan :

P(p,q,…) Þ  Q(p,q,….)

Bila satu dari ketiga kondisi di atas berlaku.

F.     Fungsi Proposisi dan Himpunan Kebenaran

            Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D   adalah sebuah himpunan (sembarang kumpulan obyek). Kita menyebut P sebuah        fungsi proposisi (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah proposisi.

            Contoh :

1.      Misalkan P(n) adalah pernyataan, n adalah bilangan ganjil dan D adalah himpunan bilangan bulat positif. Maka P adalah fungsi proposisi dengan daerah asal pembicaraan D karena untuk setiap n di D, P(n) adalah proposisi (yakni, untuk setiap n di D, P(n) bisa bernilai benar atau salah tetapi tidak keduanya). Jika n=1, dapat diperoleh proposisi. 1 adalah bilangan ganjil bernilai benar. Jika n=2, diperoleh proposisi 2 adalah bilangan ganjil bernilai salah.

2.      Fungsi proposisi “x+2>7” yang didefinisikan pada N, yakni himpunan bilangan asli. Maka {x | x Î N, x+2>7} = {6,7,8,…}adalah himpunan kebenarannya.

7. Pengukur Jumlah Universal

            Misalkan A sebuah penyataan, dan x menyatakan suatu variabel. Jika kita ingin       menunjukkan bahwa A bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai x, kita tuliskan           ∀xA. ∀x disebut pengukur jumlah universal (universal quantifier), dan A dikatakan           sebagai ruang lingkup (scope) dari pengukur jumlah tersebut. Variabel x dikatakan        menjadi variabel terbatas (bound) dari pengukur jumlah tersebut. Simbol ∀ dibaca “Untuk semua”.

            Untuk pernyataan “Semua kucing punya ekor” dapat kita nyatakan dalam kalkulus            predikat sebagai :

∀x (Kucing(x)⇒PunyaEkor(x))

8. Negasi Ingkaran

Kalimat ingkaran ( Negasi ) adalah suatu pernyataan yang diperoleh dari suatu pernyataan sebelumnya dan mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan dengan pernyataan sebelumnya.

Tabel Kebenaran

 

by, Ferradwitaniary Joana M. N

12515640

1PA03